NCERT Solutions Class 9 गणित Chapter-13 (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन )

NCERT Solutions Class 9  गणित 9 वीं कक्षा से Chapter-13 (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन) के उत्तर मिलेंगे। यह अध्याय आपको मूल बातें सीखने में मदद करेगा और आपको इस अध्याय से अपनी परीक्षा में कम से कम एक प्रश्न की उम्मीद करनी चाहिए। 

हमने NCERT बोर्ड की टेक्सटबुक्स हिंदी गणित के सभी Questions के जवाब बड़ी ही आसान भाषा में दिए हैं जिनको समझना और याद करना Students के लिए बहुत आसान रहेगा जिस से आप अपनी परीक्षा में अच्छे नंबर से पास हो सके।

एनसीईआरटी प्रश्न-उत्तर

Class 9 गणित

पाठ-13 (पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

प्रश्नावली 13.1

प्रश्न 1.

1.5 m लम्बा, 1.25 m चौड़ा और 65 cm गहरा प्लास्टिक का एक डिब्बा बनाया जाता है। इसे ऊपर से खुला रखना है। प्लास्टिक शीट की मोटाई को नगण्य मानते हुए निर्धारित कीजिए कि

(i) डिब्बा बनाने के लिए आवश्यक प्लास्टिक शीट का क्षेत्रफल।

(ii) इस शीट का मूल्य, यदि 1 m² शीट का मूल्य Rs 20 है।

हल :

डिब्बा का आधार घनाभ है जिसका ऊपरी तल खुला है।

दिया है : डिब्बा की लम्बाई, l = 1.5 m, चौड़ाई b = 1.25 m और गहराई h = 65 cm = 0.65 m

(i) चूँकि डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (2 + b) × h .

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (1.50 + 1.25) × 0.65

= 2 × 2.75 × 0.65

= 3:575 m²

एवं आधार का क्षेत्रफल = l × b = 1.50 × 1.25 = 1.875 m²

प्लास्टिक शीट का कुल क्षेत्रफल = 3.575 + 1.875 = 5.450 m²

अतः प्लास्टिक शीट का अभीष्ट क्षेत्रफल = 5.45 m².

(ii) प्लास्टिक शीट का मूल्य = दर × क्षेत्रफल

= 20 × 5.45

= Rs 109

अतः प्लास्टिक शीट का अभीष्ट मूल्य = Rs 109.

प्रश्न 2.

एक कमरे की लम्बाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 m, 4 m और 3 m है। Rs 7.50 प्रति m² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए। (2019)

हल :

दिया है : कमरे की लम्बाई l = 5 m, चौड़ाई b = 4 m और ऊँचाई h = 3 m है।

कमरे की दीवारों का पार्श्व पृष्ठ = 2 (l + b) × h = 2 (5 + 4) × 3 = 54 m²

कमरे की छत का क्षेत्रफल = l × b = 5 × 4 = 20 m²

सफेदी के लिए कुल क्षेत्रफल = 54 + 20 = 74 m²

सफेदी कराने का व्यय = दर × क्षेत्रफल = 7.50 × 74 = Rs 555

अतः सफेदी कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 555.

प्रश्न 3.

किसी आयताकार हॉल के फर्श का परिमाप 250 m है। यदि Rs 10 प्रति मीटर² की दर से चारों दीवारों पर पेंट कराने की लागत Rs 15,000 हो, तो इस हॉल की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : हॉल के फर्श का परिमाप = 250 m, दीवारों पर पेंट की दर Rs 10 प्रति m² एवं पेंट कराने का व्यय Rs 15,000

मान लीजिए हॉल की ऊँचाई h मीटर है।

चूँकि दीवारों का क्षेत्रफल = फर्श की परिमाप × ऊँचाई

= 250 × h = 250 h m²

पेंट का व्यय = दर × क्षेत्रफल = 10 × 250 h = 15,000
h=15,0002,500=6m
अतः हॉल की अभीष्ट ऊँचाई = 6 m.

प्रश्न 4.

किसी डिब्बे में भरा हुआ पेंट 9.375 m² के क्षेत्रफल पर पेंट करने के लिए पर्याप्त है। इस डिब्बे के पेंट से 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm विमाओं वाली कितनी ईंटें पेंट की जा सकती हैं ?

हल :

दिया है : एक ईंट की विमाएँ 22.5 cm × 10 cm × 7.5 cm तथा डिब्बे के रंग से पेंट हो सकने वाला क्षेत्रफल 9:375 m² अर्थात् 93750 cm².

एक ईंट का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (22.5 × 10 + 10 × 7.5 + 7.5 × 22.5) cm²

= 2 (225 + 75 + 168.75) = 937.5 cm²

अतः ईंटों की अभीष्ट संख्या = 100.

प्रश्न 5.

एक घनाकार डिब्बे का एक किनारा 10 cm लम्बाई का है तथा एक अन्य घनाभाकार डिब्बे की लम्बाई, चौड़ाईं तथा ऊँचाई क्रमशः 12.5 cm, 10 cm और 8 cm है।

(i) किस डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल अधिक है और कितना अधिक है ?

(ii) किस डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम है और कितना कम है ?

हल :

(i) पहले डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4a² = 4 × 10² = 400 cm²

तथा दूसरे डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (12.5 + 10) × 8 = 360 cm²

दोनों के पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अन्तर = 400 – 360 = 40 cm²

अतः पहले डिब्बे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे से 40 cm² अधिक है।

(ii) पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 6a² = 6 × 10² = 600 cm²

तथा द्वितीय डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2[12.5 × 10 + 10 × 8 + 8 × 12.5]

= 2 (125 + 80 + 100)

= 2 × 305

= 610

दोनों के कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अन्तर = 610 – 600 = 10 cm²

अतः पहले डिब्बे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल दूसरे से 10 cm² कम है।

प्रश्न 6.

एक छोटा पौधा घर (green house) सम्पूर्ण रूप से शीशे की पट्टियों से (आधार भी सम्मिलित है) घर के अन्दर ही बनाया गया है और शीशे की पट्टियों को टेप द्वारा चिपका कर रोका गया है। यह पौधा घर 30 cm लम्बा, 25 cm चौड़ा 25 cm ऊँचा है।

(i) इसमें प्रयुक्त शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल क्या है ?

(ii) सभी 12 किनारों के लिए कितने टेप की आवश्यकता है ?

हल :

(i) शीशे की पट्टियों का क्षेत्रफल = 2 (30 × 25 + 25 × 25 + 25 × 30)

= 2 (750 + 625 + 750)

= 2 × 2125

= 4250 cm²

अतः शीशे की पट्टियों का कुल अभीष्ट क्षेत्रफल = 4250 cm².

(ii) टेप की कुल लम्बाई = सभी कोरों की लम्बाई का योग

= 4 (30 + 25 + 25)

= 4 × 80

= 320 cm

अतः टेप की कुल अभीष्ट लम्बाई = 320 cm.

प्रश्न 7.

शान्ति स्वीट स्टाल अपनी मिठाइयों को पैक करने के लिए गत्ते के डिब्बे बनाने का ऑर्डर दे रहा था। दो मापों के डिब्बों की आवश्यकता थी। बड़े डिब्बे की माप 25 cm × 20 cm × 5 cm और छोटे डिब्बे की माप 15 cm × 12 cm × 5 cm थी। सभी प्रकार की अतिव्यापकता (overlaps) के लिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के 5% के बराबर अतिरिक्त गत्ता लगेगा। यदि गत्ते की लागत Rs 4 प्रति 1000 cm² है, तो प्रत्येक प्रकार के 250 डिब्बे बनवाने की कितनी लागत आयेगी?

हल:

बड़े डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (25 × 20 + 20 × 5 + 5 × 25)

= 2 (500 + 100 + 125)

= 2 × 725

= 1450 cm²

250 डिब्बों के लिए गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 1450 × 105100 × 250 = 380625 cm²

और छोटे डिब्बे का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (15 × 12 + 12 × 5 + 5 × 15)

= 2 (180 + 60 + 75)

= 2 × 315

= 630 cm²

250 डिब्बों के लिए गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 630 × 105100 × 250 = 165375 cm²
गत्ते का कुल क्षेत्रफल = 380625 + 165375 = 546000 cm²
डिब्बे बनवाने का व्यय = 546000 × 41000 = Rs 2184
अतः डिब्बे बनवाने का अभीष्ट व्यय = Rs 2,184.

प्रश्न 8.

परवीन अपनी कार खड़ी करने के लिए एक संदूक के प्रकार के ढाँचे जैसा एक अस्थाई स्थान तिरपाल की सहायता से बनाना चाहती है जो कार को चारों ओर से और ऊपर से ढक ले। (सामने वाला फलक लटका हुआ होगा जिसे घुमाकर ऊपर किया जा सकता है) यह मानते हुए कि सिलाई के समय लगा तिरपाल का अतिरिक्त कपड़ा नगण्य होगा, आधार विमाओं 4 m × 3 m और ऊँचाई 2.5 m वाले इस ढाँचे को बनाने के लिए कितने तिरपाल की आवश्यकता होगी?

हल:

ढाँचे का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2 (4 + 3) × 2.5 = 35 m²

ढाँचे की छत का क्षेत्रफल = 4 × 3 = 12 m²

तिरपाल का कुल क्षेत्रफल = 35 + 12 = 47 m²

अतः ढाँचे को बनाने के लिए आवश्यक अभीष्ट तिरपाल = 47 m².

प्रश्नावली 13.2

(जब तक अन्यथा न कहा जाए तब तक π=227 लीजिए।)

प्रश्न 1.

ऊँचाई 14 cm वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 cm³ है। बेलन के आधार का व्यास ज्ञात कीजिए। (2018, 19)

हल :

चूँकि वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = 2πrh

⇒ 2×227×r×14=88
⇒ r=88×72×22×14
= 1 cm
∴ व्यास = 2r = 2 x 1 = 2 cm
अत: बेलन का अभीष्ट व्यास = 2 cm.

प्रश्न 2.

एकधातु की चादर से 1 m ऊँची और 140 cm व्यास के आधार वाली एक बन्द बेलनाकार टंकी बनाई जानी है। इस कार्य के लिए कितने वर्ग मीटर चादर की आवश्यकता होगी? (2019)

हल :

बेलनाकार टंकी की ऊँचाई h = 1 m = 100 cm, आधार का व्यास d = 140 cm

त्रिज्या r = 1402 = 70 cm .
∴ टंकी का सम्पूर्ण पृष्ठ = 2πr (r + h) = 2 x 227 x 70 (70 + 100)

= 440 x 170

= 74800 cm²

= 7.48 m²

अतः चादर का अभीष्ट क्षेत्रफल = 7.48 m².

प्रश्न 3.

धातु का एक पाइप 77 cm लम्बा है। इसके एक अनुप्रस्थ काट का आन्तरिक व्यास 4 cm है और बाहरी व्यास 4.4 cm है (देखिए संलग्न चित्र)। ज्ञात कीजिए:

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(ii) बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(iii) कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल :

दिया है : धातु के पाइप (खोखले बेलन) की लम्बाई (ऊँचाई) h = 77 cm

अनुप्रस्थ काट (वृत्ताकार छल्ला) का बाह्य व्यास d1 = 4.4 cm ⇒ r1 = 2.2 cm एवं आन्तरिक व्यास d2 = 4 cm ⇒ r2 = 2 cm

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πd2h
= 227×4×77
= 22 x 44
= 968 cm² …(1)

अतः अभीष्ट आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 cm².

(ii) बाह्य क्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πd1h

= 227×4.4×77
= 22 x 4.4 x 11
= 1064.8 cm² ….(2)

अत: अभीष्ट बाह्य वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1064.8 cm².

(iii) पाइप के दोनों सिरों का क्षेत्रफल = 

2π(r21−r22)=2×227[(2⋅2)2−(2)2]
= 2×227(4⋅84−4)
= 2×227×0.84
= 44 x 0.12
= 5.28 cm² …(3)

पाइप का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 968 + 1064.8 + 5.28 . [(1) + (2) + (3) से]

= 2038.08 cm²

अतः पाइप का अभीष्ट कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2038.08 cm².

प्रश्न 4.

एक रोलर (roller) का व्यास 84 cm है और लम्बाई 120 cm है। एक खेल के मैदान को एक बार समतल करने के लिए 500 चक्कर लगाने पड़ते हैं। खेल के मैदान का मीटर में क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

रोलर का व्यास d = 84 cm तथा लम्बाई h = 120 cm

चूँकि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πdh = 227 x 84 x 120 cm²
= 22 x 12 x 120
= 31680 cm²
500 चक्कर में कुल क्षेत्रफल = 500 x 31680 cm²
= 500×3168010000m2
= 1584 m²

अतः खेल के मैदान का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1584 m².

प्रश्न 5.

किसी बेलनाकार स्तम्भ का व्यास 50 cm है और ऊँचाई 3.5 m है। Rs 12.50 प्रति m² की दर से इस स्तम्भ के वक्र पृष्ठ पर पेंट कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : बेलनाकार स्तम्भ का व्यास, d = 50 cm = 0.5 m

ऊँचाई h = 3.5 m, और पेंट कराने की दर = Rs 12.50 प्रति m²

स्तम्भ का वक्र पृष्ठ = πdh = 227 x 0.5 x 3.5 = 5.50 m²

पेंट कराने का व्यय = दर x क्षेत्रफल = 12.50 x 5.50 = Rs 68.75

अत: पेंट कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 68.75.

प्रश्न 6.

एक लम्ब वृत्तीय बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 4.4 m² है। यदि बेलन के आधार की त्रिज्या 0.7 m है तो उसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = 4.4 m² एवं आधार की त्रिज्या r = 0.7 m

चूँकि बेलन का वक्र पृष्ठ Sc = 2πrh

⇒ 2×227×0.7×h=4⋅4
⇒ h=4⋅4×72×22×0.7=1m
अतः बेलन की अभीष्ट ऊँचाई = 1 m.

प्रश्न 7.

किसी वृत्ताकार कुएँ का आन्तरिक व्यास 3.5 m है और यह 10 m गहरा है। ज्ञात कीजिए :

(i) आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(ii) Rs 40 प्रति m² की दर से इसके वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का व्यय।

हल :

कुएँ का आन्तरिक व्यास d = 3.5 m तथा गहराई h = 10 m दिया हुआ है तथा पेंट कराने की दर Rs 40 प्रति m² है।

(i) चूँकि कुएँ का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πd×h=227×3.5×10 = 110 m²

अतः कुएँ का अभीष्ट आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 m².

(ii) प्लास्टर कराने का व्यय = दर x क्षेत्रफल = 40 x 110 = Rs 4,400

अतः वक्र पृष्ठ पर प्लास्टर कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 4,400.

प्रश्न 8.

गर्म पानी द्वारा गर्म रखने वाले एक संयन्त्र में 28 m लम्बाई और 5 cm व्यास वाला एक बेलनाकार पाइप है। इस संयन्त्र में गर्मी देने वाला कुल कितना पृष्ठ है?

हल :

पाइप की लम्बाई h = 28 m एवं व्यास d = 5 cm = 0.05 m
पाइप का वक्र पृष्ठ = πdh=227×0.05×28 = 4.4 m²
अतः संयन्त्र का गर्मी देने वाला अभीष्ट पृष्ठ = 4.4 m².

प्रश्न 9.

ज्ञात कीजिए:

(i) एक बेलनाकार पेट्रोल की बंद टंकी का पार्श्व तल या वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल जिसका व्यास 4.2 m और ऊँचाई 4.5 m है।

(ii) टंकी को बनाने में कुल कितना इस्पात (steel) लगा होगा, यदि कुल इस्पात का 112 भाग बनाने में नष्ट हो जाता है।

हल :

दिया है : बेलनाकार पेट्रोल की टंकी का व्यास d = 4.2 m, ऊँचाई h = 4.5 m और टंकी बनाने में कुल इस्पात का 112 भाग नष्ट होता है अर्थात् 1112 भाग प्रयुक्त होता है।
(i) पार्श्व पृष्ठ = πdh=227×4⋅2×4⋅5 = 59.4 m²
अतः टंकी का अभीष्ट पार्श्व तल = 59.4 m².

(ii) टंकी का कुल पृष्ठ = 2πr(h+r)=2×227×2⋅1(4⋅5+2⋅1)
= 2 x 22 x 0.3 x 6.6 m² [d = 4.2 ⇒ r = 2.1]
चूँकि इस्पात का 112 भाग नष्ट हो जाता है अतः 1112 भाग प्रयुक्त होता है।
मान लीजिए इस्पात का कुल क्षेत्रफल = x m² है, तो
1112x=2×22×0⋅3×6⋅6
x=2×22×0.3×6.6×1211
∴ x = 1.2 x 6.6 x 12 = 95.04 m²
अतः इस्पात का अभीष्ट कुल क्षेत्रफल = 95.04 m².

प्रश्न 10.

संलग्न चित्र में आप एक लैंपशेड का फ्रेम देख रहे हैं। इसे एक सजावटी कपड़े से ढका जाना है। इस फ्रेम के आधार का व्यास 20 cm है और ऊँचाई 30 cm है। फ्रेम के ऊपर और नीचे मोड़ने के लिए दोनों ओर 2.5 cm अतिरिक्त कपड़ा भी छोड़ा जाना है। ज्ञात कीजिए कि लैंपशेड को ढकने के लिए कुल कितने कपड़े की आवश्यकता होगी?

हल :

दिया है : फ्रेम के आधार का व्यास d = 20 cm

एवं ऊँचाई = 30 cm लेकिन दोनों सिरों पर (2.5 cm + 2.5 cm) = 5.0 cm कपड़ा छोड़ा जाना है,

अतः प्रभावी ऊँचाई h = 30 + 5 = 35 cm

कपड़े का क्षेत्रफल = पार्श्व पृष्ठ का प्रभावी क्षेत्रफल
=πd×h=227×20×35=2200cm2
अतः अभीष्ट कपड़े की आवश्यकता = 2200 cm².

प्रश्न 11.

किसी विद्यालय के विद्यार्थियों से एक आधार वाले बेलनाकार कलमदानों को गत्ते से बनाने और सजाने की प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए कहा गया। प्रत्येक कलमदान को 3 cm त्रिज्या और 10.5 cm ऊँचाई का होना था। विद्यालय को इसके लिए प्रतिभागियों को गत्ता देना था। यदि इसमें 35 प्रतिभागी थे तो विद्यालय को कितना गत्ता खरीदना पड़ा होगा?

हल :

दिया है : कलमदान के आधार की त्रिज्या, r = 3 cm और ऊँचाई = 10.5 cm तथा कलमदानों की संख्या 35 है।

कलमदान का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2π x 3 x 10.5 = 63.0 π cm²

आधार का क्षेत्रफल = πr² = π x 3² = 9π cm²

एक कलमदान में प्रयुक्त कुल गत्ता = 63π + 9π = 72π cm²

35 कलमदानों में प्रयुक्त कुल गत्ता = 35 x 72π = 35 x 72 x 227 cm²

= 7920 cm²

अत: गत्ते का अभीष्ट क्षेत्रफल = 7920 cm².

प्रश्नावली 13.2

प्रश्न 1.

एक शंकु के आधार का व्यास 10.5 cm है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : शंकु के आधार का व्यास d = 10.5 cm ⇒ त्रिज्या r = 5.25 cm तथा तिर्यक ऊँचाई l = 10 cm है।

शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 227 x 5.25 x 10 = 11557 = 165 cm²
अत: शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 165 cm².

प्रश्न 2.

एक शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी तिर्यक ऊँचाई 21.0 m है और आधार का व्यास 24 m है।

हल :

दिया है : एक शंकु की तिर्यक ऊँचाई l = 21 m, आधार का व्यास d = 24 m ⇒ त्रिज्या r = 12 m

अब शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = πr (r + l)

= 227 x 12 x (12 + 21)
= 22×12×337
= 1244.57 m²

अतः शंकु का अभीष्ट कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1244.57 m².

प्रश्न 3.

एक शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 308 cm² और इसकी तिर्यक ऊँचाई 14 cm है। ज्ञात कीजिए :

(i) आधार की त्रिज्या,

(ii) शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल :

दिया है : शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = 308 cm² एवं तिर्यक ऊँचाई l = 14 cm ; मान लीजिए आधार की त्रिज्या = r cm

(i) चूँकि शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = πrl
227 x r x 14 = 308
⇒ 44r = 308
⇒ r = 30844 = 7 cm

अतः शंकु के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 7 cm.

(ii) चूँकि शंकु का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल Sw = πr (r + 1)
= 227 x 7 (7 + 14) = 22 x 21 = 462 cm²
अतः शंकु का अभीष्ट कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 462 cm².

प्रश्न 4.

शंकु के आकार का एक तम्बू 10 m ऊँचा है और उसके आधार की त्रिज्या 24 m है तो ज्ञात कीजिए:

(i) तम्बू की तिर्यक ऊँचाई (2019)

(ii) तम्बू में लगे कैनवास की लागत यदि 1 m² केनवास की लागत Rs 70 है।

हल :

दिया है : शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई h = 10 m एवं उसके आधार की त्रिज्या r = 24 m तथा

कैनवास की लागत दर = Rs 70 प्रति m²

(i) तिर्यक ऊँचाई l=r2+h2−−−−−−√=(24)2+(10)2−−−−−−−−−−√ (पाइथागोरस प्रमेय)
=576+100−−−−−−−−√=676−−−√
= 26 m

अतः शंकु के आकार के लम्बू की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 26 m.

(ii) कैनवास का क्षेत्रफल = शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल

= πrl=227×24×26=137287m2
कैनवास की कुल लागत = लागत दर – पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 70×137287

= Rs 137280

अतः तम्बू बनाने में कुल अभीष्ट लागत = Rs 137280.

प्रश्न 5.

8 मीटर ऊँचाई और आधार की त्रिज्या 6 m वाले एक शंकु के आकार का तम्बू बनाने में 3 मीटर चौड़े तिरपाल की कितनी लम्बाई लगेगी? यह मानकर चलिए कि इसकी सिलाई और कटाई में 20 cm तिरपाल अतिरिक्त लगेगा। (π = 3.14 का प्रयोग करें।)

हल :

दिया है : शंक्वाकार तम्बू की ऊँचाई h = 8 m, त्रिज्या r = 6 m एवं तिरपाल की चौड़ाई = 3 m

तथा तिरपाल की अतिरिक्त लम्बाई = 20 cm = 0.2 m

शंक्वाकार तम्बू की तिर्यक ऊँचाई l=r2+h2−−−−−−√=(6)2+(8)2−−−−−−−−−√
l=36+64−−−−−−√=100−−−√=10m
तम्बू का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 3.14 x 6 x 10.

= 188.4 m²

तिरपाल की कुल लम्बाई = 62.8 m + 0.2 m

= 63 m

अतः तिरपाल की अभीष्ट लम्बाई = 63 m.

प्रश्न 6.

शंकु के आकार की एक गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई और आधार का व्यास क्रमशः 25 m और 14 m है। इसकी वक्र पृष्ठ पर Rs 210 प्रति 100 m² की दर से सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : शंक्वाकार गुम्बज की तिर्यक ऊँचाई l = 25 m और व्यास d = 14 m ⇒ त्रिज्या r=142 = 7 m एवं सफेदी कराने का व्यय = Rs 210 प्रति 100 m²
शंक्वाकार गुम्बज का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
= 227 x 7 x 25 = 550 m²
सफेदी कराने का कुल व्यय = दर x क्षेत्रफल = 210100 x 550 = Rs 1,155
अतः शंक्वाकार गुम्बज पर सफेदी कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 1,155.

प्रश्न 7.

एक जोकर की टोपी एक शंकु के आकार की है, जिसके आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसी प्रकार की 10 टोपियाँ बनाने के लिए आवश्यक गत्ते का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। हल :

दिया है : शंक्वाकार टोपी के आधार की त्रिज्या = 7 cm तथा ऊँचाई h = 24 cm एवं टोपियों की संख्या = 10

चूँकि टोपी की तिर्यक ऊँचाई, l=(7)2+(24)2−−−−−−−−−−√ (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ l=49+576−−−−−−−√=625−−−√=25cm

चूँकि टोपी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = πrl (सूत्र से)

⇒ Sc = 227 x 7 x 25 = 550 cm²
⇒ 10 टोपियों का कुल पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 10 x 550 = 5500 cm²
अतः आवश्यक गत्ते का अभीष्ट क्षेत्रफल = 5500 cm².

प्रश्न 8.

किसी बस स्टाप को पुराने गत्ते से बने 50 खोखले शंकुओं द्वारा सड़क से अलग किया हुआ है। प्रत्येक शंकु के आधार का व्यास 40 cm है और ऊँचाई 1 m है। यदि इन शंकुओं की बाहरी पृष्ठों को पेंट करवाना है और पेंट की दर Rs 12 प्रति m² है तो इसका पेंट करवाने में कितनी लागत आयेगी? (π = 3.14 और √1.04 = 1.02 का प्रयोग कीजिए।)

हल :

दिया है : 50 खोखले शंकु जिनके आधार का व्यास d = 40 cm = 0.4 m ⇒ r = 0.2 m,

ऊँचाई h = 1 m और पेंट कराने की दर = Rs 12 प्रति m²

खोखले शंकु की तिर्यक ऊँचाई l=r2+h2−−−−−−√ (पाइथागोरस प्रमेय से)
⇒ l=(0.2)2+(1)2−−−−−−−−−−√=0⋅04+1−−−−−−−√=1⋅04−−−−√=1⋅02m

चूँकि खोखले शंकु का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

⇒ Sc = 3.14 x 0.2 x 1.02 = 0.64056 m²

⇒ 50 खोखले शंकुओं का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 50 x 0.64056 m²

S = 32.028 m²

पेंट कराने में व्यय = दर x क्षेत्रफल

= Rs 12 x 32.028

= Rs 384.34

अतः खोखले शंकुओं पर पेंट कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 384.34.

प्रश्नावली 13.4

प्रश्न 1.

निम्न त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए :

(i) 10.5 cm (2018)

(ii) 5.6 cm

(iii) 14 cm.

हल :

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (10.5)²

= 88 x 10.5 x 1.5

= 1386 cm²

अतः गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 cm².

(ii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (5.6)²

= 88 x 5.6 x 0.8

= 394.24 cm²

अतः गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 394.24 cm².

(iii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (14)²

= 88 x 28

= 2464 cm²

अतः गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2464 cm².

प्रश्न 2.

निम्न व्यास वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

(i) 14 cm

(ii) 21 cm

(iii) 3.5 m.

हल :

(i) गोले का व्यास d = 14 cm (दिया है)

⇒ R = 142 = 7 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (7)² = 616 cm²

अतः गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 616 cm²

(ii) गोले का व्यास d = 21 cm (दिया है)

⇒ R = 212 = 10.5 cm
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (10.5)².

= 88 x 10.5 x 1.5 = 1386 cm²

अत: गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 1386 cm².

(iii) गोले का व्यास d = 3.5 m (दिया है)

⇒ R = 3.52 = 1.75 m
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² = 4 x 227 x (1.75)²

= 88 x 1.75 x 0.25 = 38.5 m²

अत: गोले का अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफल = 38.5 m².

प्रश्न 3.

10 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)।

हल :

दिया है : अर्धगोले की त्रिज्या R = 10 cm

चूँकि अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल = 3πR²

= 3 x 3.14 x 10²

= 942 cm²

अतः अर्द्धगोले का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल का अभीष्ट मान = 942 cm².

प्रश्न 4.

एक गोलाकार गुब्बारे में हवा भरने पर, उसकी त्रिज्या 7 cm से 14 cm हो जाती है। इन दोनों स्थितियों में गुब्बारे के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : दोनों स्थितियों में गुब्बारे की त्रिज्याएँ क्रमशः R1 = 7 cm एवं R2 = 14 cm हैं।

चूँकि पहली स्थिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S1 = 4πR1²

⇒ S1 = 4π(7)² cm²

एवं दूसरी स्थिति में गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल S2 = 4πR2²

⇒ S2 = 4π(14)² cm²

∴ S1 : S2 = 4π (7)² : 4π (14)² = 1 : 4

अतः दोनों स्थितियों में अभीष्ट पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = 1 : 4.

प्रश्न 5.

पीतल के बने एक अर्द्धगोलाकार कटोरे का आन्तरिक व्यास 10.5 cm है। Rs 16 प्रति 100 cm² की दर से इसके आन्तरिक पृष्ठ पर कलई कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : कटोरे का आन्तरिक व्यास, d = 10.5 cm ⇒ त्रिज्या R = 5.25 cm

कटोरे का आन्तरिक पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR² = 2 x 227 x (5.25)²
⇒ Sc = 44 x 5.25 x 0.75 cm² = 173.25 cm²
कलई का व्यय = दर x क्षेत्रफल = 16100 x 173.25 = Rs 27.72
अतः कलई कराने का अभीष्ट व्यय = Rs 27.72.

प्रश्न 6.

उस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है। (2018)

हल :

गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 154 cm² (दिया हुआ है)

चूँकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल Sc = 4πR²

4 x 227 x R² = 154
R² = 154×74×22 = 12.25 cm²
R = √12.25 = 3.5 cm
अतः गोले की अभीष्ट त्रिज्या = 3.5 cm.

प्रश्न 7.

चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। इन दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : चन्द्रमा और पृथ्वी के व्यासों का अनुपात

=dm:de=1:4⇒Rm:Re=1:4⇒RmRe=14
चूँकि चन्द्रमा एवं पृथ्वी के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात Sm:Se=4πR2m:4πR2e
SmSe=(14)2=116⇒Sm:Se=1:16
अतः दोनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अभीष्ट अनुपात = 1:16.

प्रश्न 8.

एक अर्द्धगोलाकार कटोरा 0.25 cm मोटी स्टील से बना है। इस कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या 5 cm है। कटोरे का बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

ज्ञात है : कटोरे की आन्तरिक त्रिज्या Ri = 5 cm एवं स्टील की मोटाई d = 0.25 cm

⇒ कटोरे की बाह्य त्रिज्या Re = Ri + d = 5 + 0.25 = 5.25 cm

कटोरे का बाह्य वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πR2e=2×227×(5⋅25)2
= 44 x 5.25 x 0.75 cm² = 173.25 cm²

अतः कटोरे का अभीष्ट बाहरी वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 173.25 cm².

प्रश्न 9.

एक लम्बवृत्तीय बेलन त्रिज्या r वाले एक गोले को पूर्णतया घेरे हुए हैं (देखिए संलग्न चित्र)। ज्ञात कीजिए

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल,

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल,

(iii) ऊपर (i) एवं (ii) में प्राप्त क्षेत्रफलों का अनुपात।

हल :

गोले की त्रिज्या r मात्रक दी गई है। चित्रानुसार बेलन की

त्रिज्या = r मात्रक तथा बेलन की ऊँचाई h = 2r मात्रक

(i) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR² (मात्रक)।

(ii) बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2πr. 2r = 4πr²

अतः बेलन का वक्र पृष्ठीय अभीष्ट क्षेत्रफल = 4πr².

(iii) गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल : बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² : 4πr² = 1 : 1

अतः दोनों पृष्ठों का अभीष्ट अनुपात = 1 : 1.

प्रश्नावली 13.5

प्रश्न 1.

माचिस की डिब्बी का माप 4 cm x 2.5 cm x 1.5 cm है। ऐसी 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन क्या होगा?

हल :

चूँकि एक माचिस की डिब्बी का आयतन V = 4 cm x 2.5 cm x 1.5 cm = 15 cm³

⇒ 12 डिब्बियों के एक पैकेट का आयतन = 12 x 15 = 180 cm³

अत: माचिस की डिब्बियों के पैकेट का अभीष्ट आयतन = 180 cm³.

प्रश्न 2.

एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 m लम्बी, 5 m चौड़ी और 4.5 m गहरी है। इसमें कितने लिटर पानी आ सकता है ? (1 m³ = 1000 लीटर) (2019)

हल :

पानी की टंकी की धारिता = 6 x 5 x 4.5 = 135 m³

⇒ 135 x 1000 लीटर = 1,35,000 लीटर

अतः पानी की टंकी में अभीष्ट = 1,35,000 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 3.

एक घनाभाकार बर्तन 10 m लम्बा और 8 m चौड़ा है। इसको कितना ऊँचा बनाया जाए कि इसमें 380 घनमीटर द्रव आ सके।

हल :

मान लीजिए बर्तन की ऊँचाई h m रखी जाए।

चूँकि घनाभाकार बर्तन की धारिता = लम्बाई x चौड़ाई x ऊँचाई

380 = 10 x 8 x h ⇒ h = 38010×8 = 4.75 m

अत: बर्तन की अभीष्ट ऊँचाई = 4.75 m रखी 

प्रश्न 4.

8 m लम्बा, 6 m चौड़ा और 3 m गहरा एक घनाभाकार गड्डा खुदवाने में Rs 30 प्रति m³ की दर से होने वाला व्यय ज्ञात कीजिए। (2019)

हल :

गड्डे का आयतन V = 8 m x 6 m x 3 m = 144 m³

खुदवाने का व्यय = दर x क्षेत्रफल = 30 x 144 = Rs 4,320

अत: गड्डा खुदवाने में अभीष्ट व्यय = Rs 4,320.

प्रश्न 5.

एक घनाभाकार टंकी की धारिता 50,000 लीटर पानी की है। यदि इस टंकी की लम्बाई और गहराई क्रमशः 2.5 m और 10 m है, तो इसकी चौड़ाई ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : टंकी की धारिता V = 50,000 लीटर ⇒ V = 50 m³, लम्बाई l = 2.5 m, गहराई d = 10 m

पतन) V = l x b x h

⇒ 50 = 2.5 x b x 10 ⇒ b = 5025 = 2 m

अतः टंकी की अभीष्ट चौड़ाई = 2 m.

प्रश्न 6.

एक गाँव जिसकी जनसंख्या 4000 है, को प्रतिदिन प्रति व्यक्ति 150 लीटर पानी की आवश्यकता है। इस गाँव में 20 m x 15 m x 6 m मापों वाली एक टंकी बनी हुई है। इस टंकी का पानी वहाँ कितने दिन के लिए पर्याप्त होगा ?

हल :

टंकी की धारिता = 20 m x 15 m x 6 m = 1800 m³

⇒ धारिता (लीटर में) = 1800 x 1000 = 18,00,000 लीटर

एक दिन में जल की आवश्यकता = 4000 x 150 = 6,00,000 लीटर

अतः टंकी का पानी अभीष्ट 3 दिन के लिए पर्याप्त होगा।

प्रश्न 7.

किसी गोदाम की माप 40 m x 25 m x 15 m है। इस गोदाम में 1.5 m x 1.25 m x 0.5 m की माप वाली लकड़ी की कितनी अधिकतम क्रेट (crate) रखी जा सकती हैं?

हल :

चूँकि गोदाम की धारिता V = 40 m x 25 m x 15 m = 15,000 m³

एवं एक क्रेट का आयतन V1 = 1.5 m x 1.25 m x 0.5 m = 0.9375 m³

अतः क्रेटों की अभीष्ट संख्या = 16,000.

प्रश्न 8.

12 cm भुजा वाले एक ठोस घन को बराबर आयतन वाले 8 घनों में काटा जाता है। नए घन की भुजा क्या होगी ? साथ ही इन दोनों घनों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए। 

हल :

माना नए घन की भुजा = a cm

प्रश्नानुसार, (12)³ = 8a³ ⇒ a³ = 12×12×128 = (6)³ ⇒ a = 6 cm

अतः नए घन की अभीष्ट भुजा = 6 cm एवं उनके पृष्ठों के क्षेत्रफल का अनुपात = 4:1.

प्रश्न 9.

3 m गहरी और 40 m चौड़ी एक नदी 2 किमी प्रति घण्टा की चाल से बहकर समुद्र में गिरती है। एक मिनट में समुद्र में कितना पानी गिरेगा ?

हल :

1 मिनट में नदी द्वारा तय की गई दूरी l = 200060 मीटर [∵ वेग = 2 किमी/घण्टा]
1 मिनट में समुद्र में नदी द्वारा गिरा पानी = 200060 x 3 x 40 = 4,000 m³
अतः 1 मिनट में नदी द्वारा समुद्र में 4,000 m³ पानी गिरेगा।

प्रश्नावली 13.6

प्रश्न 1.

एक बेलनाकार बर्तन के आधार की परिधि 132 cm है और उसकी ऊँचाई 25 cm है। इस बर्तन में कितने लीटर पानी आ सकता है ? (1000 cm³ = 1 लीटर) (2018)

हल :

बेलनाकार बर्तन के आधार की परिमाप = 2πr = 132
= 2×227×r=132⇒r=132×72×22=21cm
बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr2h=227×(21)2×25cm2
= 22 x 21 x 3 x 25 = 34650 cm³
= 346501000
= 34.650 लीटर

अत: बेलनाकार बर्तन में 34.650 लीटर पानी आ सकता है।

प्रश्न 2.

लकड़ी के एक बेलनाकार पाइप का आन्तरिक व्यास 24 cm है और बाहरी व्यास 28 cm है। इस पाइप की लम्बाई 35 cm है। इस पाइप का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए यदि 1 cm³ लकड़ी का द्रव्यमान 0.6g है। (2019)

हल :

दिया है : d1 = 28 cm ⇒ r1 = 282 = 14 cm, d2 = 24 cm ⇒ r2 = 242 = 12 cm, लम्बाई l या h = 35 cm
पाइप की लकड़ी का आयतन = π(r21−r22)×h=227(142−122)×35
= 22 (196 – 144) x 5 = 22 x 52 x 5 = 5720 cm³
पाइप की लकड़ी का द्रव्यमान = 5720 x 0.6 g = 3432 g
अतः पाइप का अभीष्ट द्रव्यमान = 3432 g या 3:432 kg

प्रश्न 3.

एक सोफ्ट ड्रिंक (soft drink) दो प्रकार के पैकों में उपलब्ध है :

(i) लम्बाई 5 cm और चौड़ाई 4 cm वाले एक आयताकार आधार का टिन का डिब्बा जिसकी ऊँचाई 15 cm है और

(ii) व्यास 7 cm वाले वृत्तीय आधार और 10 cm ऊँचाई वाला एक प्लास्टिक का बेलनाकार डिब्बा। किस डिब्बे की धारिता अधिक है और कितनी अधिक ?

हल :

(i) टिन के घनाभाकार डिब्बे की धारिता = 5 x 4 x 15 = 300 cm³

(ii) प्लास्टिक के बेलनाकार डिब्बे की धारिता = 227×(72)2×10 = 385 cm³

दोनों की धारिता का अन्तर = 385 – 300 = 85 cm³

अतः प्लास्टिक के डिब्बे की धारिता टिन के डिब्बे की धारिता से 85 cm³ अधिक है।

प्रश्न 4.

यदि एक बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल 94.2 cm² है और उसकी ऊँचाई 5 cm है तो ज्ञात कीजिए:

(i) आधार की त्रिज्या,

(ii) बेलन का आयतन। (π = 3.14 लीजिए)

हल :

(i) चूँकि बेलन का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh

⇒ 2 x 3.14 x r x 5 = 94.2 ⇒ r = 94.231.4 = 3 cm

अतः बेलन के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 3 cm.

(ii) बेलन का आयतन = πr²h = 3.14 x 3² x 5 = 141.3 cm³

अतः बेलन का अभीष्ट आयतन = 141.3 cm³

प्रश्न 5.

10 m गहरे एक बेलनाकार बर्तन के आन्तरिक वक्र पृष्ठ को पेंट कराने का व्यय Rs 2,200 है। यदि पेंट कराने की दर Rs 20 प्रति m² है, तो ज्ञात कीजिए

(i) बर्तन का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

(ii) आधार की त्रिज्या

(iii) बर्तन की धारिता।

हल :

(i) चूँकि पेंट कराने का व्यय = दर x आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ 2200 = 20 x आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

⇒ आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 220020 = 110 m²

अतः बर्तन का अभीष्ट आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 110 m².

(ii) बेलन का वक्रपृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πrh = 2 x 227 x r x 10 = 110
⇒ r=110×72×22×10=74m=1.75m

अत: बेलनाकार बर्तन के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 1.75 m.

(iii) बर्तन की धारिता = πr2h=227×(74)2×10=22×7×1016
बर्तन की धारिता = 96.25 m³ या 96.25 kL
अतः बेलनाकार बर्तन की अभीष्ट धारिता = 96.25 m³ (kL).

प्रश्न 6.

ऊँचाई 1 m वाले एक बेलनाकार बर्तन की धारिता 15.4 लीटर है। इसको बनाने के लिए कितने वर्ग मीटर धातु की शीट की आवश्यकता होगी ?

हल :

दी हुई धारिता = 15.4 लीटर = 15.41000 m³ = πr²h

बेलनाकार बर्तन का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2πr (r + h)

= 2 x 227 x 0.07 (0.07+ 1)= 44 x 0.01 x 1.07 m³

= 0.4708 m³

अतः धातु की शीट की अभीष्ट आवश्यकता = 0.4708 m³.

प्रश्न 7.

सीसे की एक पेंसिल (lead pencil) लकड़ी के एक बेलन के अभ्यन्तर में ग्रेफाइट (graphite) से बने ठोस बेलन को डालकर बनाई गई है। पेंसिल का व्यास 7 mm है और ग्रेफाइट का व्यास 1 mm है। यदि पेंसिल की लम्बाई 14 cm है तो लकड़ी का आयतन और ग्रेफाइट का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : पेंसिल का बाहरी व्यास d1 = 7 mm
r1 = 720 cm
एवं पेंसिल का आन्तरिक (ग्रेफाइट) का व्यास d2 = 1 mm
r2 = 120 cm
तथा पेंसिल की लम्बाई l = 14 cm

अतः लकड़ी का अभीष्ट आयतन = 5.28 cm³ एवं ग्रेफाइट का आयतन = 0.11 cm³.

प्रश्न 8.

एक अस्पताल (hospital) के एक रोगी को प्रतिदिन 7 cm व्यास वाले एक बेलनाकार कटोरे में सूप (soup) दिया जाता है। यदि यह कटोरा सूप से 4 cm ऊँचाई तक भरा जाता है, तो इस अस्पताल में 250 रोगियों के लिए प्रतिदिन कितना सूप तैयार किया जाता है ?

हल :

दिया है : एक बेलनाकार कटोरे का व्यास d = 7 cm

r = 72 cm
एवं कटोरे में सूप की ऊँचाई h = 4 cm
एक कटोरे में सूप का आयतन = πr2h=227×(72)2×4=154cm3
250 रोगियों के सूप का आयतन = 250 x 154 cm³ = 38500 cm³
= 385001000
= 38.5 लीटर

अतः प्रतिदिन तैयार किए गए सूप का अभीष्ट आयतन = 38.5 लीटर।

प्रश्नावली 13.7

प्रश्न 1.

उस लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी

(i) त्रिज्या 6 cm और ऊँचाई 7 cm है। (2018)

(ii) त्रिज्या 3.5 cm और ऊँचाई 12 cm है।

हल :

(i) शंकु का आयतन = 13πr2h=13×227×(6)2×7=264cm3
अत: शंकु का अभीष्ट आयतन = 264 cm³.

(ii) शंकु का आयतन = 13πr2h=13×227×(3⋅5)2×12=154cm3
अतःशंकु का अभीष्ट आयतन = 154 cm³.

प्रश्न 2.

शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए, जिसकी

(i) त्रिज्या 7 cm और तिर्यक ऊँचाई 25 cm है।

(ii) ऊँचाई 12 cm और तिर्यक ऊँचाई 13 cm है।

हल :

(i) शंकु की ऊँचाई h=l2−r2−−−−−√=(25)2−(7)2−−−−−−−−−−√
=625−49−−−−−−−√=576−−−√
= 24 cm
अब शंकु का आयतन =13πr2h=13×227×(7)2×24=1232cm3
= 1.232 लीटर
अतःशंक्वाकार बर्तन की अभीष्ट धारिता = 1.232 लीटर।

(ii) शंकु की त्रिज्या r=l2−h2−−−−−−√=(13)2−(12)2−−−−−−−−−−√=169−144−−−−−−−−√
= √25
= 5 cm
अब शंकु का आयतन =13πr2h=13×227×(5)2×12
=22007=314⋅3cm3
= 0.3143 लीटर (लगभग)

अतः शंक्वाकार बर्तन का अभीष्ट आयतन = 0.3143 लीटर। (लगभग)

प्रश्न 3.

एक शंकु की ऊँचाई 15 cm है। यदि इसका आयतन 1570 cm³ है तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 प्रयोग कीजिए। (2019)

हल:

शंकु का आयतन = 13πr2h
13×3⋅14×r2×15=1570⇒r2=157015.70=100cm2
r = √100 = 10 cm

अत: शंकु के आधार की अभीष्ट त्रिज्या = 10 cm.

प्रश्न 4.

यदि 9 cm ऊँचाई वाले एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 48 π cm³ है तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल :

लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन = 13πr2h
13×π×r2×9=48π⇒r2=16⇒r=16−−√=4cm

शंकु का व्यास = 2 x r = 2 x 4 = 8 cm

अतः शंकु का अभीष्ट व्यास = 8 cm.

प्रश्न 5.

ऊपरी व्यास 3.5 m वाले एक शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 m गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटर में कितनी है ?

हल :

दिया है : शंकु का व्यास = 3.5 m ⇒ त्रिज्या r = 3.52 m
शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = =13πr2h=13×227×(3⋅52)2×12
⇒ गड्ढे का धारिता = 38.5 m³ = 38.5 किलोलीटर
अत: गड्ढे की अभीष्ट धारिता = 38.5 किलोलीटर।

प्रश्न 6.

एक लम्बवृत्तीय शंकु का आयतन 9856 cm³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 cm है. तो ज्ञात कीजिए:

(i) शंकु की ऊँचाई,

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई,

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

हल : (i) शंकु के आधार का व्यास d = 28 cm ⇒ त्रिज्या r = 14 cm

शंकु का आयतन V=13πr2h⇒13×227(14)2×h
= 9856
h=9856×3×722×14×14=2069764312
= 48 cm

अत: शंकु की अभीष्ट ऊँचाई = 48 cm.

(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई l=h2+r2−−−−−−√=(48)2+(14)2−−−−−−−−−−√
l=2304+196−−−−−−−−−√=2500−−−−√
= 50 cm

अतः शंकु की अभीष्ट तिर्यक ऊँचाई = 50 cm.

(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl = 227 x 14 x 50 = 2200 cm²
अतः शंकु का अभीष्ट वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2200 cm²

प्रश्न 7.

भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 cm के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल :

भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले समकोण त्रिभुज ABC को 12 cm की भुजा के परितः घुमाने पर बना ठोस एक लम्बवृत्तीय शंकु होगा जिसकी त्रिज्या r = 5 cm और ऊँचाई h = 12 cm होगी।

शंकु का आयतन =13πr2h=13π×(5)2×12
= 100π cm³ अर्थात् 22007 = 314.29 cm³
अतः शंकु का अभीष्ट आयतन = 314.29 cm³.

प्रश्न 8.

यदि प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 cm के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार बने ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल :

भुजाओं 5 cm, 12 cm और 13 cm वाले समकोण त्रिभुज ABC को 5 cm की भुजा के परितः घुमाने से बना ठोस एक लम्बवृत्तीय शंकु होगा जिसकी त्रिज्या = 12 cm एवं ऊँचाई = 5 cm

अब शंकु का आयतन =13πr2h=13π(12)2×5=240πcm3
अर्थात् 240×227=52807.
= 754.29 cm³
प्रश्न 7 के शंकु और प्रश्न 8 के शंकु के आयतनों में अनुपात
= 100π : 240π = 5 : 12
अतः शंकु का अभीष्ट आयतन = 754.29 cm³
एवं दोनों शंकुओं के आयतनों का अनुपात = 5 : 12.

प्रश्न 9.

गेहूँ की एक ढेरी 10.5m व्यास और ऊँचाई 3 m वाले शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए कैनवास से ढका जाना है। वांछित कैनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : शंक्वाकार ढेरी के आधार का व्यास d = 10.5 m

⇒ त्रिज्या, r = 10.52 = 5.25 m और ऊँचाई h = 3 m
तिर्यक ऊँचाई l=r2+h2−−−−−−√=(5⋅25)2+(3)2−−−−−−−−−−−−√
=27⋅5625+9−−−−−−−−−−√=36⋅5625−−−−−−−√
= 6.05 (लगभग)
शंक्वाकार गेहूँ की ढेरी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl
⇒ Sc=227×5.25×6.05=698.7757=99.825m2
= 99.825 m²

शंक्वाकार गेहूँ की ढेरी का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

⇒ Sc=227×5.25×6.05=698.7757=99.825m2

= 99.825 m²

अतः गेहूँ की शंक्वाकार ढेरी का अभीष्ट आयतन = 86.625 m³

एवं ढेरी को ढकने के लिए आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल = 99.825 m².

प्रश्नावली 13.8

प्रश्न 1.

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या निम्न है:

(i) 7 cm (2019)

(ii) 0.63 m.

हल :

(i) गोले की त्रिज्या R = 7 cm (दिया है।)

गोले का आयतन V=43πR3=43×227×(7)3cm3
=88×493=43123
= 1437.33 cm³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1437.33 cm³. (लगभग)

(ii) गोले की त्रिज्या R = 0.63 m (दिया है)

गोले का आयतन V=43πR3=43×227×(0.63)3m3
= 88 x 0.63 x 0.63 x 0.03
= 105 m³ (लगभग)
अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 1.05 m³.(लगभग)

प्रश्न 2.

उस ठोस गोलाकार गेंद द्वारा हटाए गए (विस्थापित) पानी का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका व्यास निम्न है

(i) 28 cm

(ii) 0.21 m.

हल :

हल :
ठोस गेंद द्वारा हटाए गए पानी का आयतन = गेंद का आयतन
(i) गोलाकार गेंद का दिया गया व्यास d = 28 cm ⇒ त्रिज्या R = 14 cm
गोलाकार गेंद का आयतन 12
V=43πR3=43×227×(14)3
=883×14×14×2
V = 344963

= 11498.67 cm³ (लगभग)

अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 11498.67 cm³. (लगभग)

(ii) गोलाकार गेंद का व्यास d = 0.21 m ⇒ त्रिज्या r = 0.105 m
गोलाकार गेंद का आयतन V=43πR3=43×227×(0⋅105)3m3
= 88 x 0.105 x 0.105 x 0.005

= 0.004851 m³

अतः हटाए गए पानी का अभीष्ट आयतन = 0.004851 m³.

प्रश्न 3.

धातु की एक गेंद का व्यास 4.2 cm है। यदि इस धातु का घनत्व 8.9 ग्राम प्रति cm³ है, तो इस गेंद का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : गेंद का व्यास d = 2R = 4.2 cm = R = 2.1 cm एवं धातु का घनत्व D = 8.9g/cm³
गोलाकार गेंद का आयतन V=43πR3=43×227×(2⋅1)3cm2

= 8.8 x 2.1 x 2.1

= 38.808 cm³

धातु का द्रव्यमान = घनत्व – आयतन

= 8.9 x 38.808 g

= 345.39 g (लगभग)

अतः धातु का अभीष्ट द्रव्यमान = 345.39 g. (लगभग)

प्रश्न 4.

चन्द्रमा का व्यास पृथ्वी के व्यास का लगभग एक-चौथाई है। चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की कौन-सी भिन्न है ? (2019)

हल :

मान लीजिए पृथ्वी का व्यास = d मात्रक है ⇒ चन्द्रमा का व्यास = d4 मात्रक
पृथ्वी की त्रिज्या Re=d2 मात्रक एवं चन्द्रमा की त्रिज्या Rm=d8 मात्रक
पृथ्वी का आयतन, Ve=43π(Re)3=43π(d2)3=16πd3 …(1)
चन्द्रमा का आयतन, Vm=43π(Rm)3=43π(d8)3=πd3384 मात्रको

अतः चन्द्रमा का आयतन पृथ्वी के आयतन की अभीष्ट भिन्न = 164.

प्रश्न 5.

व्यास 10.5 cm वाले एक अर्द्धगोलाकार कटोरे में कितने लीटर दूध आ सकता है ?

हल :

अर्द्धगोलाकार कटोरे का व्यास, d = 10.5 cm (दिया गया है।)

त्रिज्या R = 10.52 cm = 5.25 cm
कटोरे की धारिता V=23πR3=23×227×(5⋅25)3
= 44 x 5.25 x 5.25 x 0.25
= 303.1875 cm³
= 0.3032 लीटर (लगभग)

अत: कटोरे में अभीष्ट 0.3032 लीटर (लगभग) दूध आ सकता है।

प्रश्न 6.

एक अर्द्धगोलाकार टंकी 1 cm मोटी एक लोहे की चादर (sheet) से बनी है। यदि इसकी आन्तरिक त्रिज्या 1 m है तो इस टंकी के बनाने में लगे लोहे का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल :

दिया है : टंकी की आन्तरिक त्रिज्या R2 = 1 m एवं लोहे की शीट की मोटाई = 1 cm = 0.01 m
⇒ बाह्य त्रिज्या R1 = 1.01 m
लोहे का आयतन V = टंकी का बाह्य आयतन – टंकी का आन्तरिक आयतन

अत: लोहे का अभीष्ट आयतन = 0.06286 m³ (लगभग)।

प्रश्न 7.

उस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल 154 cm² है।

हल :

चूँकि गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πR²

4×227R2=154⇒R2=154×74×22=(72)2
R=72cm
गोले का आयतन V=43πR3=43×227×(72)3
=113×49=5393=179⋅67cm3

अतः गोले का अभीष्ट आयतन = 179.67 cm³.

प्रश्न 8.

किसी भवन का गुम्बद एक अर्द्धगोले का आकार का है। अन्दर से इसमें सफेदी कराने में Rs 498.96 व्यय हुए। यदि सफेदी कराने की दर Rs 2 प्रति वर्ग मीटर है तो ज्ञात कीजिए

(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल।

(ii) गुम्बद के अन्दर की हवा का आयतन।

हल :

(i) गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

अतः गुम्बद का आन्तरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 249.48 m².

(ii) अर्द्धगोले का वक्रीय पृष्ठ = 2πR²

चूँकि हवा का आयतन V = गुम्बद की धारिता

=23π(R)3=23×227(6⋅3)3m3

= 44 x 6.3 x 6.3 x 0.3

= 523.9 m³

अतः हवा का अभीष्ट आयतन = 523.9 m³.

प्रश्न 9.

लोहे के सत्ताईस ठोस गोलों को पिघलाकर जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या r है और पृष्ठीय क्षेत्रफल S है। एक बड़ा गोला बनाया जाता है जिसका पृष्ठीय क्षेत्रफल S’ है। ज्ञात कीजिए:

(i) नये गोले की त्रिज्या r’,

(ii) S और S’ का अनुपात।

हल :

(i) नये गोले का आयतन = 27 पुराने गोलों का आयतन
43π(r′)3=27×43π(r)3
(r’)³ = (3r)³ ⇒ r’ = 3r मात्रक
अतः नये गोले की त्रिज्या r’ = 3r मात्रक।।

(ii) S : S’ = 4πr² : 4πr’² = r² : r’²

S : S’ = r² : (3r)² = r² : 9r² = 1 : 9

अतः S : S’ का अभीष्ट अनुपात = 1 : 9.

प्रश्न 10.

दवाई का एक कैप्सूल (capsule) 3.5 mm व्यास का एक गोला (गोली) है। इस कैप्सूल को भरने के लिए कितनी (mm³) दवाई की आवश्यकता होगी ?

हल :

दवा का आयतन = गोली का आयतन = 43π(R)3
V=43×227×(3⋅52)3 (चूँकि व्यास 2R = 3.5 दिया है)
V=113×3⋅5×3⋅5×0⋅5=67⋅3753=22⋅46mm3 (लगभग)
अतः कैप्सूल को भरने के लिए आवश्यक दवा = 22.46 mm³. (लगभग)

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 गणित पीडीएफ

• 1. संख्या पद्धति
• 2. बहुपद
• 3. निर्देशांक ज्यामिति
• 4. दो चरों वाले रैखिक समीकरण
• 5. यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
• 6. रेखाएँ और कोण
• 7. त्रिभुज
• 8. चतुर्भुज
• 9. समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
• 10. वृत्त
• 11. रचनाएँ
• 12. हीरोन का सूत्र
• 14. सांख्यिकी
• 15. प्रायिकता