NCERT Solutions Class 9 गणित Chapter-12 (हीरोन का सूत्र)
Class 9 गणित
पाठ-12 (हीरोन का सूत्र)
अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर
प्रश्नावली 12.1
प्रश्न 1.
एक यातायात संकेत बोर्ड पर “आगे स्कूल है” लिखा है और यह भुजा a वाले एक समबाहु त्रिभुज के आकार का है। हीरोन के सूत्र का प्रयोग करके इस बोर्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। यदि संकेत बोर्ड का परिमाप 180 cm हो तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
हल:
अब संकेत बोर्ड की परिमाप = 180 cm
⇒ बोर्ड की एक भुजा a =
संकेत बोर्ड का क्षेत्रफल ∆ =
अतः संकेत बोर्ड का अभीष्ट क्षेत्रफल = 900√3 cm2.
प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में किसी फ्लाईओवर (Flyover) की त्रिभुजाकार दीवार को विज्ञापनों के लिए प्रयोग किया जाता है। दीवार की भुजाओं की लम्बाइयाँ 122 m, 22 m और 120 m हैं। इस विज्ञापन से प्रतिवर्ष ₹ 5,000 प्रति m2 की प्राप्ति होती है। एक कम्पनी ने एक दीवार को विज्ञापन देने के लिए 3 महीने के लिए किराये पर लिया। उसने कुल कितना किराया दिया ?
चित्र 12.5
हल:
दिया है : त्रिभुजाकार दीवार की भुजाएँ क्रमशः a = 122 m, b = 22 m और c = 120 m
हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
⇒ दीवार का क्षेत्रफल = 1320 m2
दीवार का कुल किराया = क्षेत्रफल – किराए की दर x समय
⇒ दीवार का कुल किराया = 1320 x 5000 x
अतः कम्पनी द्वारा दिया गया अभीष्ट किराया₹ 16,50,000 है।
प्रश्न 3.
किसी पार्क में एक फिसलपट्टी (Slide) बनी हुई है। इसकी पार्वीय दीवारों (Side walls) में से एक दीवार पर किसी रंग से पेंट किया गया है और उस पर “पार्क को हरा-भरा और साफ रखिए” लिखा हुआ है (देखिए पार्क को हरा भरा संलग्न चित्र)। यदि इस दीवार और साफ रखिए की विमाएँ 15 m, 11 m, और 6 m हैं, तो रंग से पेंट हुए भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चित्र 12.6
हल:
मान लीजिए फिसलपट्टी की पार्वीय दीवारों की विमाएँ क्रमशः a = 15 m, b = 11 m एवं c = 6 m दी गई हैं।
तो s =
हीरोन के सूत्र से दीवार का क्षेत्रफल
अतः दीवार के पेंट किए हुए भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 20√2 m2.
प्रश्न 4.
उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी दो भुजाएँ 18 cm और 10 cm हैं तथा उसका परिमाप 42 cm है।
हल:
मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ क्रमशः a, b और c हैं
a = 18 cm, b = 10 cm, a + b + c = 42 cm (दिया है)
⇒ 18 + 10 + c = 42 ⇒ c = 42 – 28 = 14 cm
अब
तथा हीरोन के सूत्र से त्रिभुज का क्षेत्रफल
अतः त्रिभुज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 21√11 cm2.
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 12 : 17 : 25 है और उसका परिमाप 540 cm है। इस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चूँकि त्रिभुज की भुजाएँ 12 : 17 : 25 के अनुपात में हैं तो मान लीजिए ये भुजाएँ 12 x, 17x और 25x हैं।
12x + 17x + 25x = 540 cm
⇒ 54x = 540 cm = x = 540/54 = 10
⇒ ∆ की भुजाएँ क्रमशः 120 cm, 170 cm और 250 cm
अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9000 cm2.
प्रश्न 6.
एक समद्विबाहु त्रिभुज की परिमाप 30 cm है और उसकी बराबर भुजाएँ 12 cm की लम्बाई की हैं। उस त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि त्रिभुज की बराबर भुजाएँ = a = b = 12 cm एवं परिमाप a + b + c = 30 cm.
तब c = 30 – 12 – 12 = 30 – 24 = 6 cm
अतः त्रिभुज अभीष्ट क्षेत्रफल = 9√15 cm2.
प्रश्न 1.
एक पार्क चतुर्भुज ABCD के आकार का है जिसमें ∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है। इस पार्क का कितना क्षेत्रफल है ?
हल:
दिए हुए पार्क का आकार संलग्न चित्र में प्रदिर्शित है जिसमें
∠C = 90°, AB = 9 m, BC = 12 m, CD = 5 m और AD = 8 m है।
चित्र 12.7
पार्क का कुल क्षेत्रफल = ar (ABD) + ar (BCD)
= 6 √35 + 30 = 6 x 5.916 + 30 [समी. (1) + (2) से]
⇒ ar (ABCD) = 35.496 + 30 = 65-496 ≈ 65.5 m2 (लगभग)
अतः पार्क का अभीष्ट क्षेत्रफल = 65.5 m2.(लगभग)
प्रश्न 2.
एक चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, DA = 5 cm और AC = 5 cm है।
हल:
चतुर्भुज ABCD का आकार संलग्न चतुर्भुज में दिखाया गया है
जिसमें AB = 3 cm, BC = 4 cm, CD = 4 cm, AD = 5 cm और AC = 5 cm है।
चित्र 12.8
ar (ABCD) = ar (ABD) + ar (ADC)
= 6 + 2√21
= 6 + 9.165
= 15.165 cm2
= 15.2 cm2 (लगभग)
अतः चतुर्भुज ABCD का अभीष्ट क्षेत्रफल = 15.2 cm2.(लगभग)
प्रश्न 3.
राधा ने एक रंगीन कागज से एक हवाई जहाज का चित्र बनाया जैसा संलग्न चित्र में दिखाया गया है। प्रयोग किए गए कागज का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र कुल 5 भागों में बँटा हुआ है।
चित्र 12.9
I भाग एक समद्विबाहु त्रिभुजाकार है जिसकी भुजाएँ 5 cm, 5 cm. 1 cm।
II भाग एक आयत है जिसकी भुजाएँ 6-5 cm एवं 1 cm हैं।
⇒ ar (II) = 6.5 x 1 = 6.5 cm2 …(2)
III भाग एक समलम्ब चतुर्भुज है जिसकी समान्तर भुजाएँ 1 cm और 2 cm है तथा असमान्तर भुजाएँ 1 cm और 1 cm हैं। मान लीजिए दोनों समान्तर भुजाओं के बीच की दूरी में है तो के अनुसार
चित्र 12.10
IV एवं V भाग दो समान विमाओं के समकोण त्रिभुज हैं जिनकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 6 cm एवं 1.5 cm हैं।
⇒ ar (IV & V) = 2 x
= 9.0 cm2 ….(4)
ar (हवाई जहाज) = ar (I) + ar (II) + ar (III) + ar (IV &V)
⇒ ar (हवाई जहाज) = 2.5 + 6.5 + 1.3 + 9.0 = 19.3 cm2 (लगभग)
अतः प्रयोग किए गए रंगीन कागज का अभीष्ट क्षेत्रफल = 19.3 cm2 (लगभग)
प्रश्न 4.
एक त्रिभुज और एक समान्तर चतुर्भुज का एक ही आधार है और क्षेत्रफल भी एक ही है। यदि त्रिभुज की भुजाएँ 26 cm, 28 cm और 30 cm हैं तथा समान्तर चतुर्भुज 28 cm के आधार पर स्थित है तो उसकी संगत ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 12.9
ज्ञात है : एक ही आधार AB = 28 cm पर एक समान्तर AL
चतुर्भुज ABCD एवं त्रिभुज EAB स्थित हैं जिसमें
AE = 30 cm एवं BE = 26 cm है।
ar (EAB) = ar (ABCD)
मान लीजिए समान्तर चतुर्भुज की संगत ऊँचाई = d cm है।
चूँकि ar (ABCD) = ar (EAB) (दिया है)
28 x d = 336
d =
अतः समान्तर चतुर्भुज की अभीष्ट संगत ऊँचाई = 12 cm.
प्रश्न 5.
एक समचतुर्भुजाकार घास के खेत में 18 गायों के चरने के लिए घास है। यदि इस समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 30 m है और बड़ा विकर्ण 48 m है, तो प्रत्येक गाय को चरने के लिए इस घास के खेत का कितना क्षेत्रफल प्राप्त होगा? (2018)
हल:
चित्र 12.12
ज्ञात है : एक सम चतुर्भुजाकार घास का मैदान ABCD जिसकी भुजा AB = BC = CD = DA = 30 m एवं दीर्घ विकर्ण AC = 48 m, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। विकर्ण AC समचतुर्भुज ABCD को बराबर के क्षेत्रफल वाले ar (ABC) = ar (DAC) में विभक्त करता है।
अब ∆ABC की भुजाएँ क्रमशः 30 m, 30 m, एवं 48 m हैं।
= 24 x 6 x 3 = 432 m2
चूँकि ar (ABCD) = 2 x ar (ABC)
= 2 x 432 = 864 m2
एक गाय के लिए उपलब्ध क्षेत्रफल = 800 = 48 m2
अतः एक गाय के चरने के लिए उपलब्ध घास के खेत का अभीष्ट क्षेत्रफल = 48 m2.
प्रश्न 6.
दो विभिन्न रंगों के कपड़ों के 10 त्रिभुजाकार टुकड़ों को सीकर एक छाता बनाया गया है (देखिए संलग्न चित्र)। प्रत्येक टुकड़े की माप 20 cm, 50 cm और . 50 cm है। छाते में प्रत्येक रंग का कितना कपड़ा लगा है ?
हल:
चित्र 12.13
ज्ञात है : 10 त्रिभुजाकार समान क्षेत्रफल वाले दो रंग के कपड़े के टुकड़े जिनकी विमाएँ प्रत्येक 20 cm, 50 cm और 50
cm हैं तथा प्रत्येक रंग के 5 टुकड़े हैं।
एक त्रिभुजाकार टुकड़े के लिए,
⇒ प्रत्येक रंग के 5 टुकड़ों का क्षेत्रफल = 5 x 200√6 cm2
= 1000√6 cm2
अतः प्रत्येक रंग के कपड़े का अभीष्ट क्षेत्रफल = 1000√6 cm2.
प्रश्न 7.
एक पतंग तीन भिन्न-भिन्न शेडों (Shades) के कागजों से बनी है। इन्हें संलग्न चित्र में I, II और III से दर्शाया गया है। पतंग का ऊपरी भाग 32 cm विकर्ण का एक वर्ग है और निचला भाग 6 cm, 6 cm और 8 cm भुजाओं का एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक शेड का कितना कागज प्रयुक्त किया गया है।
हल:
चित्र 12.14
ज्ञात है : एक पतंग जिसमें ABCD एक वर्ग है जिसके विकर्ण DB = CA = 32 cm तथा AEF एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसमें AE = AF = 6 cm एवं EF = 8 cm है। मान लीजिए विकर्ण DB एवं CA बिन्दु 0 पर परस्पर लम्ब समद्विभाजक हैं। (वर्ग के प्रगुण के अनुसार)
यह पतंग तीन अलग-अलग रंग के भागों
I∆CDB, II ∆DAB और III ∆ AEF में विभाजित है।
ar (∆CDB) = ar (∆DAB) (वर्ग का विकर्ण वर्ग को समद्विभाजित करता है)
भाग I-अब ∆ CDB में आधार DB = 32 cm एवं शीर्षलम्ब
CO =
ar (CDB) =
भाग II-चूँकि ar (DAB) = ar (CDB) (बराबर त्रिभुज हैं)
= 256 cm2 (∵ ar (CDB) = 256 cm2 ज्ञात कर चुके हैं)
अतः I भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = II भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 256 cm2 एवं III भाग का अभीष्ट क्षेत्रफल = 17.92 cm2.
प्रश्न 8.
फर्श पर एक फूलों का डिजायन 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बनाया गया है जिनमें से प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं (देखिए संलग्न चित्र)।. इन टाइलों को 50 पैसे प्रति cm की दर से पॉलिश कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 12.15
दिया है : संलग्न चित्र में 16 त्रिभुजाकार टाइलों से बना डिजायन, प्रत्येक की भुजाएँ 9 cm, 28 cm और 35 cm हैं।
⇒ 16 टाइलों का क्षेत्रफल = 16∆ = 16 x 36√6 cm2
चूँकि टाइलों पर पॉलिश का व्यय = दर x क्षेत्रफल
⇒ कुल व्यय = ₹ 70 x 16 x 36√6
= ₹ 705.60
अत: टाइलों पर पॉलिश का अभीष्ट व्यय = ₹ 705.60.
प्रश्न 9.
एक खेत एक समलम्ब के आकार का है जिसकी समान्तर भुजाएँ 25 m और 10 m है। इसकी असमान्तर भुजाएँ 14 m और 13 m हैं। इस खेत का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल:
चित्र 12.16
ज्ञात है : एक समलम्ब के आकार का खेत जिसमें AB|| DC,
AB = 25 m, DC = 10 m, BC = 14 m एवं DA = 13 m है।
CE || DA एवं CF ⊥ AB खींचिए।
चूँकि AECD एक समान्तर चतुर्भुज है [DC || AB (दिया है) और CE || DA (रचना से)]
⇒ CE = DA = 13 cm (समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ हैं)
चूंकि EB = AB – AE = AB – DC (AE = DC समान्तर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ)
⇒ EB = 25 – 10 = 15 m
अत:
एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 9 गणित पीडीएफ
- 1. संख्या पद्धति
- 2. बहुपद
- 3. निर्देशांक ज्यामिति
- 4. दो चरों वाले रैखिक समीकरण
- 5. यूक्लिड की ज्यामिति का परिचय
- 6. रेखाएँ और कोण
- 7. त्रिभुज
- 8. चतुर्भुज
- 9. समांतर चतुर्भुजों और त्रिभुजों के क्षेत्रफल
- 10. वृत्त
- 11. रचनाएँ
- 13. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन
- 14. सांख्यिकी
- 15. प्रायिकता
समलम्ब खेत का का अभीष्ट क्षेत्रफल= 196.0 m2
