NCERT Solutions Class 12 गणित-II Chapter-7 (समाकलन) 

NCERT Solutions Class 12  गणित-II  12 वीं कक्षा से Chapter-7 (समाकलन) के उत्तर मिलेंगे। यह अध्याय आपको मूल बातें सीखने में मदद करेगा और आपको इस अध्याय से अपनी परीक्षा में कम से कम एक प्रश्न की उम्मीद करनी चाहिए। 

हमने NCERT बोर्ड की टेक्सटबुक्स हिंदी गणित-II के सभी Questions के जवाब बड़ी ही आसान भाषा में दिए हैं जिनको समझना और याद करना Students के लिए बहुत आसान रहेगा जिस से आप अपनी परीक्षा में अच्छे नंबर से पास हो सके।

एनसीईआरटी प्रश्न-उत्तर

Class 12 गणित-II

पाठ-7 (समाकलन)

अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर

Exercise 7.1

निम्नलिखित फलनों के प्रतिअवकलज ( समाकलन) निरीक्षण विधि द्वारा ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin 2x
उत्तर
∫sin 2x dx
हम जानते हैं कि, cos2x = -2 sin 2x

प्रश्न 2.
cos 3x
उत्तर
∫cos 3x dx
हम जानते हैं कि, sin 3x = 3 cos 3x

प्रश्न 3.
e^2x
उत्तर
∫e^2x dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 4.
(ax + b)²
उत्तर
∫(ax + b)² dx
हम जानते हैं कि,

प्रश्न 5.
sin 2x – 4e^3x
उत्तर
∫(sin 2x -4e^3x) dx = ∫sin 2x dx – 4∫e^3x …(1)

निम्नलिखित समाकलनों को ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 6.
∫(4e^3x + 1) dx
उत्तर
∫(4e^3x + 1) dx = 4∫e^3xdx + ∫1 dx

प्रश्न 7.

उत्तर

प्रश्न 8.
∫(ax² + bx + c) dx
उत्तर
∫(ax² + bx + c) dx = a∫x²dx + b∫xdx + c∫1 dx

प्रश्न 9.
∫(2x² + e^x) dx
उत्तर
∫(2x² + e^x) dx = 2∫x² dx + ∫e^x dx



प्रश्न 10.

उत्तर

प्रश्न 11.

उत्तर



प्रश्न 12.

उत्तर

प्रश्न 13.

उत्तर

प्रश्न 14.
∫(1-x)√x dx
उत्तर
∫(1-x)√x dx
=∫(√x-x√x)dx

प्रश्न 15.
∫√x(3x² + 2x + 3)dx
उत्तर
∫√x(3x² + 2x + 3)dx

प्रश्न 16.
∫(2x – 3cosx + e^x)dx
उत्तर
∫(2x – 3cosx + e^x)dx

प्रश्न 17.
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
उत्तर
∫(2x² – 3sinx + 5√x)dx
= 2∫x² dx – 3 ∫ sinx dx + 5∫√x dx

प्रश्न 18.
∫secx (sec x + tan x) dx
उत्तर
∫sec x (sec x + tan x) dx
= ∫(sec² x + sec x tan x) dx
= ∫(sec² x dx
= ∫sec x tan x dx
tan x + sec x + C

प्रश्न 19.

उत्तर

प्रश्न 20.

उत्तर

प्रश्न 21 एवं 22 में सही उत्तर का चयन कीजिए

प्रश्न 21

उत्तर

प्रश्न 22

उत्तर

Exercise 7.2

प्रश्न 1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलने का समाकलन ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

उत्तर

प्रश्न 2.

उत्तर

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.
sin x sin (cos x)
उत्तर-
मानी I = ∫ sin x sin (cos x) dx …(1)
माना cos x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
– sin x dx = dt ⇒ sin x dx = – dt
∴(1) से, I = ∫sin (cos x) (sin x) dx = -∫sint dt
= cos t + C = cos (cos x) + C

प्रश्न 5.
sin (ax + b) cos (ax + b)
उत्तर-
माना I = ∫sin (ax + b) cos (ax + b) dx
माना sin (ax + b) = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
a cos (ax + b) dx = dt

प्रश्न 6.

उत्तर-

प्रश्न 7.

उत्तर-

प्रश्न 8.

उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.
उत्तर-

प्रश्न 11.
उत्तर-

प्रश्न 12.
(x³ – 1)^1/3 x⁵
उत्तर-

प्रश्न 13.

x 2 / (2 + 3x3)3
उत्तर-

प्रश्न 14

उत्तर-

प्रश्न 15

 x / (9 – 4x2)
उत्तर-

प्रश्न 16.
e^2x+3
उत्तर-

प्रश्न 17.

उत्तर-

प्रश्न 18.

उत्तर-

प्रश्न 19.

उत्तर-

प्रश्न 20.

उत्तर-

प्रश्न 21.
tan²(2x – 3)
उत्तर-

प्रश्न 22.
sec²(7 – 4x)
उत्तर-
माना
I = ∫sec²(7 – 4x) …(1)
माना 7 – 4x = t, दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर,

प्रश्न 23.

उत्तर-

प्रश्न 24.

उत्तर-

प्रश्न 25.

उत्तर-

प्रश्न 26.

उत्तर-

प्रश्न 27.

उत्तर-

प्रश्न 28.

उत्तर-

प्रश्न 29.
cot x log sin x
उत्तर-

प्रश्न 30.

उत्तर-

प्रश्न 31.

उत्तर-

प्रश्न 32.

उत्तर-

प्रश्न 33.

उत्तर--

प्रश्न 34.

उत्तर--

प्रश्न 35.

उत्तर-

प्रश्न 36.

उत्तर-

प्रश्न 37.

उत्तर-

प्रश्न 38.

उत्तर-

प्रश्न 39.

उत्तर-

Exercise 7.3

निर्देश- 1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक का समाकलन ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.
sin² (2x + 5)
उत्तर-
माना I = ∫sin ² (2x + 5) dx

प्रश्न 2.
sin 3x cos 4x dx
उत्तर-

प्रश्न 3.
cos 2x cos 4x cos 6x dx
उत्तर-
cos 2x cos 4x cos 6x dx

प्रश्न 4.
sin³ (2x + 1)
उत्तर-
माना I = ∫sin³ (2x + 1) dx

प्रश्न 5.
sin³x cos³x
उत्तर-

प्रश्न 6.
sinx sin2x sin3x
उत्तर-
माना I = ∫sinx sin2x sin3x

प्रश्न 7.
sin 4x sin 8x
उत्तर-

प्रश्न 8.

उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.
sin x⁴ dx
उत्तर-

प्रश्न 11.
cos⁴ 2x
उत्तर-

प्रश्न 12.

उत्तर-
माना

= ∫(1-cosx)dx = ∫1 dx – ∫ cosx dx
= x – sinx +C

प्रश्न 13.

उत्तर-

प्रश्न 14.

उत्तर-

प्रश्न 15.
tan³ 2x sec 2x
उत्तर-

प्रश्न 16.
tan⁴ x
उत्तर-

प्रश्न 17.

उत्तर-

प्रश्न 18.

उत्तर-

प्रश्न 19.

उत्तर-

प्रश्न 20.

उत्तर-

प्रश्न 21.
sin^-1 (cosx)
उत्तर-

प्रश्न 22.

उत्तर-

प्रश्न 23.

उत्तर-

प्रश्न 24.

उत्तर-

Exercise 7.4

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए।

प्रश्न 1.

उत्तर-

प्रश्न 2.

उत्तर-

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.

उत्तर-

प्रश्न 5.

उत्तर-

प्रश्न 6.

उत्तर-

प्रश्न 7.

उत्तर-

प्रश्न 8.

उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.

उत्तर-

प्रश्न 11.

उत्तर-

प्रश्न 12.

उत्तर-

प्रश्न 13.

उत्तर-

प्रश्न 14.

उत्तर-

प्रश्न 15.

उत्तर-

प्रश्न 16.

उत्तर-

प्रश्न 17.

उत्तर-

प्रश्न 18.

उत्तर-

प्रश्न 19.

उत्तर-

प्रश्न 20.

उत्तर-

प्रश्न 21.

उत्तर-

प्रश्न 22.

उत्तर-

प्रश्न 23.

उत्तर-

प्रश्न 24.

उत्तर-

प्रश्न 25.

उत्तर-

Exercise 7.5

प्रश्न 1 से 21 तक के प्रश्नों में परिमेय फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

उत्तर-

प्रश्न 2.

उत्तर-

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.

उत्तर-

प्रश्न 5.

उत्तर-

प्रश्न 6.

उत्तर-

प्रश्न 7.

उत्तर-

प्रश्न 8.

उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.

उत्तर-

प्रश्न 11.

उत्तर-

प्रश्न 12.

उत्तर-

प्रश्न 13.

उत्तर-

प्रश्न 14.

उत्तर-

प्रश्न 15.

उत्तर-

प्रश्न 16.

उत्तर-

प्रश्न 17.

उत्तर-

प्रश्न 18.

उत्तर-

प्रश्न 19.

उत्तर-

प्रश्न 20.

उत्तर-

प्रश्न 21.

उत्तर-

प्रश्न 22.

उत्तर-

प्रश्न 23.

उत्तर-

Exercise 7.6

प्रश्न 1 से 22 तक के प्रश्नों के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.
फलन x sin x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
∫x sin x dx

= – x cos x + ∫cos x dx
= – x cos x + sin x + C

प्रश्न 2.
x sin 3x
उत्तर-
माना I = ∫x.sin 3x dx

प्रश्न 3.
x² e^x
उत्तर-
माना I = ∫x² e^x dx

प्रश्न 4.
फलन x log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
∫ x log x dx

प्रश्न 5.
x log 2x
उत्तर-
माना I = ∫x log 2x dx
= ∫(log 2x).x dx

प्रश्न 6.
फलन x² log x का x के सापेक्ष समाकल ज्ञात कीजिए।
उत्तर-
माना I = ∫x² log x dx

प्रश्न 7.
x sin^-1 x
उत्तर-

प्रश्न 8.
x tan^-1x
उत्तर-

प्रश्न 9.
x cos^-1 x
उत्तर-

प्रश्न 10.
(sin^-1x)²
उत्तर-
माना I = [(sin^-1 x)² dx ….(1)
sin^-1 x = θ ⇒ x = sinθ ⇒ dx = cos θ dθ
∴(1) से,

प्रश्न 11.

उत्तर-

प्रश्न 12.
x sec² x
उत्तर-
माना I = ∫x sec² x dx

x को पहला फलन तथा sec²x को दूसरा फलन लेकन खण्डश: समाकलन करने पर,
= x tan x – ∫1. tan x dx
= x tan x + log|cos x| + C

प्रश्न 13.
tan^-1 x
उत्तर-

प्रश्न 14.
x(log x)²
उत्तर-
माना I = ∫x (log x)² dx
= ∫(log x)².x dx

प्रश्न 15.
(x² + 1) log x
उत्तर-
माना I = ∫(x² + 1) log x dx
= ∫log x. (x² + 1) dx
(log x) को पहला फलन तथा (x² + 1) को दूसरा फलन लेकर खण्डश: समाकलन करने पर,

प्रश्न 16.
e^x (sinx + cosx)
उत्तर-
e^x sinx = t
⇒ e^x (sinx + cosx)dx = dt
= ∫e^x(sinx + cosx)dx = ∫dt = t + c
= e^x sinx + c

प्रश्न 17

उत्तर-

प्रश्न 18.

उत्तर-

प्रश्न 19.

उत्तर-

प्रश्न 20.

उत्तर-

प्रश्न 21.
e^2x sinx
उत्तर-

प्रश्न 22.

उत्तर-

प्रश्न 23

उत्तर-

प्रश्न 24.

उत्तर-

Exercise 7.7

प्रश्न 1 से 9 तक के फलनों का समाकलन कीजिए

प्रश्न 1.

उत्तर-

प्रश्न 2.

उत्तर-

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.

उत्तर-

प्रश्न 5.

उत्तर-

प्रश्न 6.

उत्तर-

प्रश्न 7.

उत्तर-

प्रश्न 8.

उत्तर-

प्रश्न 9.

उत्तर-

प्रश्न 10.

उत्तर-

प्रश्न 11.

उत्तर-

Exercise 7.8

योगों की सीमा के रूप में निम्नलिखित निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

उत्तर-

प्रश्न 2.

उत्तर-

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.

उत्तर-

प्रश्न 5.

उत्तर-

प्रश्न 6.

उत्तर-

Exercise 7.9

1 से 20 तक के प्रश्नों में निश्चित समाकलनों का मान ज्ञात कीजिए

प्रश्न 1.

उत्तर-

प्रश्न 2.

उत्तर-

प्रश्न 3.

उत्तर-

प्रश्न 4.

उत्तर-

प्रश्न 5.

उत्तर-

प्रश्न 6.

उत्तर-
ज्ञात है। 

प्रश्न 7.

उत्तर

प्रश्न 8.

उत्तर

प्रश्न 9.

उत्तर

प्रश्न 10.

उत्तर

प्रश्न 11.

उत्तर

प्रश्न 12.

उत्तर

प्रश्न 13.

उत्तर

प्रश्न 14.

उत्तर

प्रश्न 15.

उत्तर

प्रश्न 16.

उत्तर

प्रश्न 17.

उत्तर

प्रश्न 18.

उत्तर

प्रश्न 19.

उत्तर

प्रश्न 20.

उत्तर

प्रश्न 21.

उत्तर

प्रश्न 22.

उत्तर

Exercise 7.10

प्रश्न 1 से 8 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए ज्ञात कीजिए।

प्रश्न 1.

उत्तर

प्रश्न 2.

उत्तर

प्रश्न 3.

उत्तर

प्रश्न 4.

उत्तर

प्रश्न 5.

उत्तर

प्रश्न 6.

उत्तर

प्रश्न 7.

उत्तर

प्रश्न 8.

उत्तर

प्रश्न 9.

उत्तर

प्रश्न 10.

उत्तर

Exercise 7.11

निश्चित समाकलनों में गुणधर्मों का उपयोग करते हुए 1 से 19 तक के प्रश्नों में समाकलनों का मान ज्ञात कीपिए—

प्रश्न 1.

उत्तर

प्रश्न 2.

उत्तर

प्रश्न 3.

उत्तर

प्रश्न 4.

उत्तर

प्रश्न 5.

उत्तर

प्रश्न 6.

उत्तर

प्रश्न 7.

उत्तर

प्रश्न 8.

उत्तर

प्रश्न 9.

उत्तर

प्रश्न 10.

उत्तर

प्रश्न 11.

उत्तर

प्रश्न 12.

उत्तर

प्रश्न 13.

उत्तर

प्रश्न 14.

उत्तर

प्रश्न 15.

उत्तर

प्रश्न 16.

उत्तर

प्रश्न 17.

उत्तर

प्रश्न 18.

उत्तर

प्रश्न 19.

उत्तर

प्रश्न 20.

उत्तर

प्रश्न 21.

उत्तर

एनसीईआरटी सोलूशन्स क्लास 12 गणित-II पीडीएफ

• Chapter 8 (समाकलनों के अनुप्रयोग)
• Chapter 9 (अवकल समीकरण)
• Chapter 10 (सदिश बीजगणित)
• Chapter 11 (त्रिविमीय ज्यामिति)
• Chapter 12 (रैखिक प्रोग्रामन)
• Chapter 13 (प्रायिकता)