NCERT Solutions Class 12 गणित-II Chapter-11 (त्रिविमीय ज्यामिति)
Class 12 गणित-II
पाठ-11 (त्रिविमीय ज्यामिति)
अभ्यास के अन्तर्गत दिए गए प्रश्नोत्तर
Exercise 11.1
प्रश्न 1.
यदि एक रेखा x,y और z-अक्ष के साथ क्रमश: 90°, 135°, 45° के कोण बनाती है तो इसकी दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए।
उत्तर
माना रेखा की दिक् कोसाइन क्रमशः l, m, n हैं, तब
l = cos 90°, m = cos 135°, n = cos 45°
l = 0, 
,
प्रश्न 2.
एक रेखा की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए जो निर्देशाक्षों के साथ समान कोण बनाती है।
उत्तर
माना रेखा निर्देशाक्षों के साथ समान कोण α बनाती है, क्ब रेखा की दिक् कोसाइन
l = cosα, m = cos α, n = cos α
परन्तु l² + m² + n² = 1
⇒ cos²α + cos²α + cos²α = 1
प्रश्न 3.
यदि एक रेखा के दिक्-अनुपात – 18, 12, – 4 हैं तो इसकी दिक्-कोज्याएँ क्या हैं?
उत्तर
दिया है, a = – 18, b = 12, c = – 4
प्रश्न 4.
दर्शाइए कि बिन्दु (2, 3, 4), (-1, -2, 1), (5, 8, 7) संरेख हैं।
उत्तर
बिन्दुओं P (2, 3, 4) और Q(-1, -2, 1) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात
( – 1 – 2), ( – 2 – 3), (1 – 4) अर्थात् – 3, – 5, – 3 हैं।
बिन्दुओं Q(-1,-2, 1) और R(5, 8, 7) को मिलाने वाली रेखा के दिक् अनुपात 5-(-1), 8-(-2), 7-1 अर्थात् 6, 10, 6 हैं।
∴PQ और QR के दिक् अनुपात समानुपाती हैं।
∴PQ और QR समान्तर हैं।
पुन: चूँकि PQ और QR में बिन्दु Q उभयनिष्ठ है।
अतः P, Q और R संरेख बिन्दु हैं।
प्रश्न 5.
एक त्रिभुज की भुजाओं की दिक् कोसाइन ज्ञात कीजिए। यदि इसके शीर्ष बिन्दु (3, 5, -4), (-1,1, 2) और (-5, – 5, – 2) हैं।
उत्तर
माना त्रिभुज की भुजाओं के शीर्ष बिन्दु क्रमशः A(3, 5, -4), B(-1, 1, 2) और C(-5, -5, -2) हैं।
Exercise 11.2
प्रश्न 1.
दर्शाइए कि दिक्-कोज्याएँ
वाली तीन रेखाएँ परस्पर लम्बवत् हैं।
उत्तर
दो रेखाएँ जिनकी दिक्-कोज्याएँ क्रमशः l1, m1, n1 और l2, m2, n2 परस्पर लम्बवत् होंगी
यदि l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0
प्रश्न 2.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (1,-1, 2), (3,4,-2) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (0,3,2) और (3, 5, 6) से जाने वाली रेखा पर लम्ब है।
उत्तर
दिए गए बिन्दु A (1, – 1, 2), B (3,4, -2) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 3 – 1, 4 + 1, -2 – 2 या 2, 5, -4 हैं।
बिन्दु C (0, 3,2) और D (3, 5, 6) से होकर जाने वाली रेखा के दिक्-अनुपात 3 – 0, 5 – 3, 6 – 2 या 3, 2, 4
है।।
हम जानते हैं कि रेखाएँ जिनके दिक् अनुपात (a1, b1, c1) तथा (a2, b2, c2) है परस्पर लम्बवत होंगी यदि और केवल
a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0
यहाँ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 2 x 3 + 5 x 2 + (- 4) x4
= 6 + 10 – 16
= 16 – 16 = 0
अतः रेखा AB तथा CD एक-दूसरे पर लंब हैं।। इति सिद्धम्
प्रश्न 3.
दर्शाइए कि बिन्दुओं (4,7, 8), (2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा बिन्दुओं (-1, -2, 1) (1, 2, 5) से जाने वाली रेखा के समान्तर हैं।
उत्तर
बिन्दु A (4, 7, 8), B(2, 3, 4) से होकर जाने वाली रेखा AB के दिक्-अनुपात a1, b1, c1 क्रमशः 2 – 4, 3 – 7, 4 – 8 या -2, -4, -4 हैं।
बिन्दु C (-1, – 2, 1) और D (1, 2, 5) से होकर जाने वाली रेखा CD के दिक्-अनुपात a2, b2, c2, क्रमशः 1 – (-1), 2 – (-2), 5 – 1 या 2, 4, 4 हैं।
अतः AB || CD इति सिद्धम्
प्रश्न 4.
बिन्दु (1, 2, 3) से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो सदिश 
के समान्तर है।
उत्तर
प्रश्न 5.
बिन्दु जिसका स्थिति सदिश 
से होकर जाने वाली व सदिश के समान्तर रेखा को सदिश और कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 6.
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो बिन्दु (-2, 4, -5) से जाती है और
के समान्तर है।
उत्तर
प्रश्न 7.
एक रेखा का कार्तीय समीकरण
है। इसका सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 8.
मूलबिन्दु और (5,-2, 3) से जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश व कार्तीय रूपों में ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 9.
बिन्दुओं (3, -2, -5) और (3, -2, 6) से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण सदिश व कार्तीय रूप में ज्ञात कीजिए।
उत्तर
दिये गये बिन्दुओं A(3,-2, -5) व B(3, -2, 6) के स्थिति सदिश ।
प्रश्न 10.
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 11.
निम्नलिखित रेखायुग्मों के बीच का कोण ज्ञात कीजिए
उत्तर
(i) दी गई रेखाओं के दिक् अनुपात क्रमश: 2, 5, -3 और -1, 8, 4 है।
यदि दी गई रेखाओं के मध्य कोण θ है, तब
प्रश्न 12.
उत्तर
प्रश्न 13.
उत्तर
प्रश्न 14.
उत्तर
प्रश्न 15.
उत्तर
प्रश्न 16.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 17.
रेखाएँ, जिनके सदिश समीकरण निम्नलिखित हैं, के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
Exercise 11.3
प्रश्न 1.
निम्नलिखित प्रश्नों में से प्रत्येक में समतल के अभिलम्ब की दिक् कोसाइन और मूलबिन्दु से दूरी ज्ञात कीजिए।
(a) z = 2
(b) x + y + z = 1
(c) 2x + 3y – z = 5
(d) 5y + 8 = 0
उत्तर
(a) दिये गये समतल का समीकरण z = 2
इसकी तुलना समतल के मानक समीकरण lx + my + nz = p से करने पर,
समतल की मूलबिन्दु से दूरी
p = 2 मात्रक तथा
समतल के अभिलम्ब की दिक् केसाइन l = 0, m = 0, n = 1
(b) दिये गये समतल का समीकरण x + y + z = 1
प्रश्न 2.
उस समतल का समीकरणे ज्ञात कीजिए जो मूलबिन्दु से 7 मात्रक दूरी पर है, और सदिश 
पर अभिलम्ब है।
उत्तर
यहाँ p = 7 मात्रक
प्रश्न 3.
निम्नलिखित समतलों का कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए
उत्तर
प्रश्न 4.
निम्नलिखित स्थितियों में मूलबिन्दु से खींचे गये लम्ब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
(a) 2x + 3y + 4z – 12 = 0
(b) 3y + 4z – 6 = 0
(c) x + y + z = 1
(d) 5y + 8 = 0
उत्तर
(a) माना मूलबिन्दु से समतल पर डाले गये लम्ब के पाद P के निर्देशांक
(x1, y1, z1) हैं, तब रेखा OP के दिक् अनुपात x1, y1, z1 हैं।
समतल के समीकरण को अभिलम्ब रूप में लिखने पर,
प्रश्न 5.
निम्नलिखित प्रतिबन्यों के अन्तर्गत समतलों को सदिश एवं कार्तीय समीकरण ज्ञात कीजिए।
(a) बिन्दु (1, 0, -2) से जाता है और सदिश 
(b) बिन्दु (1, 4, 6) से जाता है और 
उत्तर
प्रश्न 6.
उन समतलों के समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित बिन्दुओं से गुजरते हैं।
(a) (1, 1 ,-1), (6, 4, -5), (-4, -2, 3)
(b) (1, 1, 0), (1, 2, 1), (-2, 2, -1)
उत्तर
प्रश्न 7.
समतल 2x + y – z = 5 द्वारा काटे गए अन्तःखण्डों को ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रश्न 8.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसका y-अक्ष पर अन्त:खण्ड 3 और जो तल ZOX के समान्तर है।
उत्तर
ZOX के समान्तर तल का समीकरण y = a
यह तल y-अक्ष पर अन्त:खण्ड 3 बनाता है।
⇒ a = 3
समतल अभीष्ट का समीकरण y = 3
प्रश्न 9.
उस समतल का समीकरण ज्ञात कीजिए जो समतलों 3x – y + 2z – 4 = 0 और x + y + z – 2 = 0 के प्रतिच्छेदन तथा बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है।
उत्तर
दिये गये समतलों के प्रतिच्छेदन से जाने वाले समतल का समीकरण
(3x – y + 2z – 4) + λ(x + y + z – 2) = 0 …(1)
यह बिन्दु (2, 2, 1) से होकर जाता है, तब
प्रश्न 10.
उत्तर
उपरोक्त प्रश्न की भाँति स्वयं हल कीजिए।
प्रश्न 11.
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 की प्रतिच्छेदन रेखा से होकर जाने वाले तथा तल x – y + z = 0 पर लम्बवत् तल का समीकरण ज्ञात कीजिए।
उत्तर
तलों x + y + z = 1 और 2x + 3y + 4z = 5 की प्रतिच्छेदन रेखा से जाने वाले समतल का समीकरण ।
(x + y + z – 1) + λ (2x + 3y + 4z – 5) = 0
(1 + 2λ)x + (1 + 3λ)y + (1 + 4λ)z – 5λ – 1 = 0 ….(1)
समतल (1) तल x – y + z = 0 पर लम्ब है।
(1 + 2λ).(1) + (1 + 3λ).(-1) + (1 + 4λ).(1) = 0
1 + 2λ – 1 – 3λ + 1 + 4λ = 0
प्रश्न 12.
उत्तर
प्रश्न 13.
निम्नलिखित प्रश्नों में ज्ञात कीजिए कि क्या दिए गए समतलों के युग्म समान्तर हैं अथवा लम्बवत् हैं और उस स्थिति में, जब ये न तो समान्तर हैं और न ही लम्बवत्, उनके बीच का कोण ज्ञात कीजिए।
(a) 7x + 5y + 6z + 30 = 0 और 3x – y – 10z + 4= 0
(b) 2x + y + 3z – 2 = 0 और x – 2y + 5 = 0
(c) 2x – 2y + 4z + 5 = 0 और 3x – 3y + 6z – 1 = 0
(d) 2x – y + 3z – 1 = 0 और 2x – y + 3z + 3 = 0
(c) 4x + 8y + z – 8 = 0 और y + z – 4 = 0
उत्तर
दिए गए समतल a1x + b1y + c1z + d1 = 0 और a2x + b2y + c2z + d2 = 0 हैं।
प्रश्न 14.
निम्नलिखित प्रश्नों में प्रत्येक दिए गए बिन्दु से दिए गए संगत समतलों की दूरी ज्ञात कीजिए।
उत्तर
हम जानते है। कि बिन्दु (x1, y1, z1) की समतल ax + by + cz + d = 0 से दूरी
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